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級數與微積分

來源:UC論文網2019-04-04 09:56

摘要:

  摘要:微積分的發展與無窮級數的研究密不可分,它們在方法和理論上是共同發展和成熟起來的,且在其發展過程中吸引了許多數學家對它們的研究并帶來了豐碩的成果。關鍵詞:級數;微積分;等價物;研究;發展  中圖分類號:O172文獻標識碼:A  級數理論是數學分析的一個分支,它與微積分一起構成數學分析的兩部分基本內容,兩者都是以極限為基本工具,分別從連續和離散兩個方面來研究函數,這在認識自然或方法論角度都具...

  摘要:微積分的發展與無窮級數的研究密不可分,它們在方法和理論上是共同發展和成熟起來的,且在其發展過程中吸引了許多數學家對它們的研究并帶來了豐碩的成果。關鍵詞:級數;微積分;等價物;研究;發展


  中圖分類號:O172文獻標識碼:A


  級數理論是數學分析的一個分支,它與微積分一起構成數學分析的兩部分基本內容,兩者都是以極限為基本工具,分別從連續和離散兩個方面來研究函數,這在認識自然或方法論角度都具有基本的重要意義。


  從純數量上,一個無窮級數等同于一個無窮限的廣義積分。


  微積分的發展與無窮級數的研究密不可分。特別是在牛頓、萊布尼茲創建微積分初期,很大程度上是依賴于對級數的隨意的、自由的使用,牛頓在他的流數論中自由運用無窮級數,他憑借二項式定理得到了sinx,cosx,tanx,arcsinx,arctanx和ex等許多函數的級數。泰勒級數則提供了將函數展成無窮級數的一般方法。在18世紀,各種初等函數的級數展開陸續得到,并在解析運算中被普遍用來代表函數而成為微積分的有力工具,級數和微積分在方法和理論上是共同發展和成熟起來的。


  級數被視為無窮多項式,這新概念中的困難,很長時期沒有被認識,歐拉?拉格朗日曾相信每個函數都顯然的可以表示為級數,并從此出發建立微積分理論,盡管這沒能成功,而作為一種數學方法的成長,或作為從離散角度認識自然的方法,卻是很重要的,積分與級數成為自然界連續和離散辨證關系的典型表現。


  微積分創立的初期就為級數理論的開展提供了基本的素材。它通過自己的基本運算與級數運算的純形式的結合,達到了一批初等函數的冪級數展開。從此以后級數便作為函數的分析等價物,用以計算函數的值。用以代表函數參加運算,并以所得結果闡釋函數的性質。在運算過程中,級數被視為多項式的直接的代數推廣,并且也就當作通常的多項式來對待。這些基本觀點的積極運用一直持續到十九世紀初年,導致了豐碩的成果,這主要歸功于歐拉,詹姆士,伯努利,拉格朗日,傅立葉。


  同時,悖論性等式的不時出現促使人們逐漸地自覺到級數的無限多項之和有別于有限項之和這一基本矛盾,注意到函數的級數展開的有效性表現為級數的部分和無限趨近于函數值這一收斂現象,提出了收斂定義的確切陳述,從而開始了數學分析的嚴密化運動。


  傅立葉在1811年的論文中,以及在他的《熱的解析理論》中,首先給出了無窮級數收斂的定義。


  1812年高斯在他的論文《無窮級數的一般研究》中給出了超幾何級數F(α,β,γ,x)的收斂判別準則。


  以后柯西在他的“分析教程”中給出了著名的柯西收斂準則,并給出了比值判別法和根式判別法。


  1826年阿貝爾研究了冪級數的收斂問題,給出了著名的阿貝爾定理。


  微積分基本運算與級數運算結合的需要,引導人們加強或縮小收斂性而提出一致收斂的概念,然而函數的級數展開,作為一整個函數的分析等價物,在收斂范圍以外的不斷的成功的使用,則又迫使人們推廣或擴大收斂概念而提出漸近性與可和性。


  十九世紀初期,法國科學家傅立葉在研究熱的傳導中,曾經引入一類“周期性變化的”函數f(x)表示為無窮多個三角函數sinnx或cosnx(n=1,2,3…)的和。于是找出函數具有收斂的傅立葉級數的確切條件便成為數學家的首要任務。


  迪里克雷于1822-1825年之間研究了傅立葉級數,并在一篇基本的論文“關于三角級數的收斂性”中給出了一個確定f(x)的傅立葉級數是收斂的并且收斂到f(x)的第一組充分條件,即迪里克雷條件。


  1854年黎曼在哥廷根為取得大學教授資格寫了一篇試用短文,題目是《用三角級數來表示函數》,他的目的是找出函數f(x)必須滿足的充要條件使在區間[-π,π]中的一點處f(x)的傅立葉級數收斂到f(x)。黎曼還證明了基本定理:如果f(x)在[-π,π]上有界且可積,則傅立葉級數系數。


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